Dimensions de terrains rectangulaires - Corrigé

Énoncé

Deux terrains rectangulaires possèdent un bord commun.
Le premier a une aire de \(1~260~\text{m}^2\) ; le second, une aire de \(924~\text{m}^2\) . Par ailleurs, les longueurs et largeurs respectives, en mètres, des deux terrains sont des nombres entiers.

Comment choisir leurs dimensions pour que leur côté commun soit le plus grand possible ?

Solution

Notons \(L\) et \(\ell_1\) les dimensions du premier terrain, et \(L\) et \(\ell_2\) les dimensions du second terrain (la dimension \(L\) correspond au côté commun aux deux terrains).

On a alors \(L\ell_1=1260\) et \(L\ell_2=924\) .

Comme \(L\) est un diviseur commun à \(1260\)  et \(924\) , la plus grande valeur possible de \(L\) est \(\mathrm{PGCD}(1260;924)\) .

On utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer ce PGCD :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 1260& 924& 1& 336\\ \hline 924& 336& 3& 252\\ \hline 336& 252& 1& 84\\ \hline 252& 84& 3& 0\\ \hline \end{array}\end{align*}\)   

donc \(\mathrm{PGCD}(1260;924)=84\) .

Ainsi, pour que le côté commun aux deux terrains soit le plus grand possible, il faut que :

• le premier terrain ait pour dimensions \(L=84~\text{m}\)  et \(\ell_1=\dfrac{1260}{84}=15~\text{m}\)  ;
• le second terrain ait pour dimensions \(L=84~\text{m}\)  et \(\ell_2=\dfrac{924}{84}=11~\text{m}\) .